10. Αναλογίες - Ανάλογα Ποσά – Μαθηματικά Γυμνασίου & Λυκείου

Τα προβλήματα αναλογιών αποτελούν θεμελιώδες κομμάτι των Μαθηματικών και αφορούν τη μελέτη της σχέσης μεταξύ μεταβαλλόμενων μεγεθών στην καθημερινή ζωή και τις επιστήμες.

0.1 1. Βασικές Έννοιες: Λόγος και Αναλογία

Ως λόγος δύο ομοειδών μεγεθών ορίζεται το πηλίκο των μέτρων τους, όταν αυτά έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης.

Η αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων (\(\frac{a}{b} = \frac{\gamma}{\delta}\)).

Στις αναλογίες, ισχύει η βασική ιδιότητα ότι το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων (\(a \cdot \delta = \beta \cdot \gamma\)), γνωστό και ως «χιαστί» γινόμενο.

0.2 2. Ανάλογα Ποσά και Ταυτοποίηση

Τα ανάλογα ποσά αποτελούν μια θεμελιώδη έννοια των Μαθηματικών που περιγράφει τη σταθερή σχέση μεταβολής μεταξύ δύο μεγεθών στην καθημερινή ζωή και τις επιστήμες.

Δύο ποσά ονομάζονται ανάλογα όταν μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο ώστε, αν πολλαπλασιαστεί (ή διαιρεθεί) η τιμή του ενός με έναν αριθμό, να πολλαπλασιάζεται (ή διαιρείται) και η τιμή του άλλου με τον ίδιο αριθμό.

Για να διαπιστώσουμε αν δύο ποσά είναι ανάλογα, εξετάζουμε:

Με τον ορισμό: Ελέγχουμε αν ο πολλαπλασιασμός της τιμής του ενός ποσού επιφέρει τον ίδιο πολλαπλασιασμό στην τιμή του άλλου.
Αν συνδέονται με τη σχέση \(y = αx\), όπου \(α\) είναι ο συντελεστής αναλογίας.
Αν το πηλίκο όλων των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό (\(\frac{y}{x} = α\)).

0.3 3. Μέθοδοι Επίλυσης Προβλημάτων

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για την επίλυση προβλημάτων αναλογιών:

Η Αλγεβρική Μέθοδος: Συμβολίζουμε τον άγνωστο με μια μεταβλητή (π.χ. \(x\)), οργανώνουμε τα δεδομένα σε πίνακα, σχηματίζουμε την αναλογία και λύνουμε την εξίσωση μέσω των χιαστί γινομένων.
Η Απλή Μέθοδος των Τριών: Μια πρακτική μέθοδος όπου, αφού κατατάξουμε τα ποσά, πολλαπλασιάζουμε την τιμή που είναι πάνω από τον άγνωστο με το κλάσμα των άλλων δύο τιμών αντεστραμμένο (στην περίπτωση αναλόγων ποσών).
Αναγωγή στη Μονάδα: Υπολογίζουμε την τιμή που αντιστοιχεί στη μία μονάδα του ενός μεγέθους και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε για να βρούμε την τελική ζητούμενη ποσότητα.

0.4 4. Γραφική Παράσταση

Η γραφική παράσταση της σχέσης δύο ανάλογων ποσών είναι πάντα μια ημιευθεία που έχει αρχή την αρχή των αξόνων (0,0). Κάθε σημείο αυτής της ημιευθείας έχει συντεταγμένες \((x, y)\) που ικανοποιούν τη σχέση αναλογίας.

Στο παρακάτω εφαρμογίδιο: Για την αναλογία \(y=a\cdot x\) . Αλλάξτε την τιμή του α μέσω του δρομέα α. Υπολογίστε τους διαφορετικούς λόγους \(\frac{y}{x}=\), για να δείτε αν ο λόγος τους παραμένει σταθερός για κάθε διαφορετικό α

0.5 5. Εφαρμογές στην Καθημερινότητα

Οι αναλογίες χρησιμοποιούνται σε πλήθος περιπτώσεων:

Κλίμακες: Ο λόγος της απόστασης σε ένα σχέδιο ή χάρτη προς την πραγματική απόσταση.
Ποσοστά: Χρησιμοποιούνται ως ειδική περίπτωση συντελεστή αναλογίας σε προβλήματα τόκου, φορολογίας, κέρδους ή ζημιάς.
Συνταγές και Μείγματα: Προσαρμογή των υλικών μιας συνταγής ανάλογα με την επιθυμητή ποσότητα.
Χρυσή Τομή: Μια ειδική αισθητική αναλογία που συναντάται στη φύση, την τέχνη (π.χ. Παρθενώνας) και το ανθρώπινο σώμα.

0.6 6. Η Έννοια του Ποσοστού στις αναλογίες

Το ποσοστό χρησιμοποιείται στα Μαθηματικά ως μια ειδική περίπτωση συντελεστή αναλογίας. Όταν ένα ποσό \(y\) είναι ποσοστό του \(x\), συνδέονται με τη σχέση \(y = (\frac{α}{100}) \cdot x\) και είναι ανάλογα με συντελεστή \(\frac{α}{100}\) ή \(α\%\).

0.7 7. Εφαρμογές και Παραδείγματα

Τα ανάλογα ποσά συναντώνται σε πολλές δραστηριότητες:

Αγορές: Η αξία ενός προϊόντος και το βάρος του (π.χ. κιλά μήλων και κόστος).
Φυσική: Η σχέση διαστήματος και χρόνου σε μια ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.
Γεωμετρία: Η σχέση της περιμέτρου ενός τετραγώνου με την πλευρά του.
Κλίμακες: Οι αποστάσεις σε έναν χάρτη είναι ανάλογες με τις πραγματικές αποστάσεις.

Προσοχή: Δεν είναι όλα τα μεγέθη που αυξάνονται ταυτόχρονα ανάλογα. Για παράδειγμα, το βάρος και το ύψος ενός παιδιού αυξάνονται καθώς μεγαλώνει, αλλά δεν είναι ποσά ανάλογα, καθώς δεν μεταβάλλονται με σταθερό λόγο.

Η κλίμακα χαρτών ή σχεδίων αποτελεί μια από τις σημαντικότερες πρακτικές εφαρμογές των λόγων και των αναλογιών στην καθημερινή ζωή και την επιστήμη,.

0.8 8. Ορισμός της Κλίμακας

Ως κλίμακα ορίζεται ο σταθερός λόγος της απόστασης δύο σημείων μιας εικόνας (ή χάρτη) ενός αντικειμένου προς την πραγματική απόσταση των δύο αντίστοιχων σημείων του ίδιου αντικειμένου,,,. Είναι απαραίτητο για τον υπολογισμό του λόγου οι αποστάσεις να έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης,,.

0.9 9. Η Σχέση της με την Αναλογία

Οι αποστάσεις σε έναν χάρτη είναι ανάλογες με τις πραγματικές αποστάσεις. Αυτό σημαίνει ότι αν η κλίμακα είναι \(1 : \alpha\), τότε:

\(1 \text{ cm}\) στον χάρτη αντιστοιχεί σε \(\alpha \text{ cm}\) στην πραγματικότητα,.
Αν ο λόγος (κλάσμα) της κλίμακας είναι μικρότερος της μονάδας (π.χ. \(1:100\)), έχουμε σμίκρυνση του αντικειμένου, ενώ αν είναι μεγαλύτερος της μονάδας (π.χ. \(2:1\)), έχουμε μεγέθυνση.
Στην περίπτωση των χαρτών, μια κλίμακα \(1:1.000\) θεωρείται μεγαλύτερη και δείχνει περισσότερη λεπτομέρεια από μια κλίμακα \(1:2.000\) για την ίδια περιοχή.

0.10 10. Μαθηματικοί Τύποι και Υπολογισμοί

Για την επίλυση προβλημάτων με κλίμακες, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω σχέσεις:

Κλίμακα = \(\frac{\text{Απόσταση Σχεδίου}}{\text{Πραγματική Απόσταση}}=\frac{1}{a}\)
Πραγματική Απόσταση = \(\alpha \cdot (\text{Απόσταση Σχεδίου})\)
Απόσταση Σχεδίου = \((\frac{1}{\alpha}) \cdot (\text{Πραγματική Απόσταση})\)

Ο παρακάτω χάρτης δείχνει ένα τμήμα του Ν. Μεσσηνίας.

Προβολή μεγαλύτερου χάρτη

Αν η πραγματική απόσταση σε ευθεία γραμμη Κορώνης - Καλαμάτας είναι 30 Km. Να βρείτε την απόσταση στο χάρτη , αν η κλίμακα είναι 1:200000.

0.11 11. Παραδείγματα Εφαρμογής

• Σε αρχιτεκτονικά σχέδια (κατόψεις): Για παράδειγμα, αν ένα δωμάτιο σε σχέδιο με κλίμακα 1:250 έχει διαστάσεις 3×5 cm, οι πραγματικές του διαστάσεις είναι 7,5×12,5 μέτρα.

• Σε μοντελισμό: Κατασκευή μινιατούρων (π.χ. τρένα, καρέκλες) που διατηρούν τις αναλογίες του πραγματικού αντικειμένου.

• Στη φωτογραφία: Η φωτογραφική μηχανή απεικονίζει τα αντικείμενα σε σμίκρυνση υπό συγκεκριμένο λόγο.

Εύρεση Πραγματικής Απόστασης: Σε έναν χάρτη με κλίμακα \(1:10.000.000\), μια μετρημένη απόσταση \(2,4 \text{ cm}\) αντιστοιχεί σε πραγματική απόσταση \(24.000.000 \text{ cm}\), δηλαδή \(240 \text{ km}\) (\(2,4 \cdot 10.000.000\)),,,.
Εύρεση Κλίμακας: Αν δύο σημεία στον χάρτη απέχουν \(10 \text{ cm}\) και η πραγματική τους απόσταση είναι \(2 \text{ km}\), μετατρέπουμε τα χιλιόμετρα σε εκατοστά (\(200.000 \text{ cm}\)). Ο λόγος \(10/200.000\) απλοποιείται σε \(1:20.000\), που είναι η ζητούμενη κλίμακα.
Χρήση σε Σχέδια: Αν ένα δωμάτιο σε σχέδιο με κλίμακα \(1:250\) έχει διαστάσεις \(3 \times 5 \text{ cm}\), οι πραγματικές του διαστάσεις υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας με το \(250\) (\(750 \times 1250 \text{ cm}\)),,.

0.12 12. Εκπαιδευτική Σημασία

Η μελέτη των κλιμάκων βοηθά τους μαθητές να κατανοήσουν την έννοια της ομοιότητας σχημάτων και της σμίκρυνσης/μεγέθυνσης μέσα από πραγματικές καταστάσεις, όπως η ανάγνωση γεωγραφικών χαρτών ή η κατασκευή μοντέλων (π.χ. αεροπλάνων ή τρένων),,,.

Ο επιμερισμός ή διαμοιρασμός σε μέρη είναι μια θεμελιώδης μαθηματική διαδικασία που συνδέεται άρρηκτα με τις έννοιες του κλάσματος, του λόγου και της αναλογίας. Η διαδικασία αυτή αφορά τον χωρισμό μιας ποσότητας (του «όλου») σε μικρότερα τμήματα, είτε αυτά είναι ίσα μεταξύ τους είτε ακολουθούν μια συγκεκριμένη σχέση.

0.13 13. Επιμερισμός ως Διαίρεση

Ο επιμερισμός μιας ποσοτητας \(κ\) σε \(ν\) μέρη ταυτίζεται με την πράξη της διαίρεσης (\(κ:ν\)).

Αν θέλουμε να μοιράσουμε 3 σοκολάτες σε 8 παιδιά, ο επιμερισμός αυτός εκφράζεται από το κλάσμα \(\frac{3}{8}\).
Σε προβλήματα διαμοιρασμού ολόκληρων αντικειμένων (π.χ. 5 κύκλοι σε 4 μαθητές), το αποτέλεσμα μπορεί να είναι ένα καταχρηστικό κλάσμα (μεγαλύτερο της μονάδας), κάτι που συχνά δυσκολεύει τους μαθητές στην κατανόηση.

0.14 14. Επιμερισμός σε Μέρη με Συγκεκριμένο Λόγο

Σε πιο σύνθετα προβλήματα, ο επιμερισμός δεν αφορά ίσα μερίδια, αλλά μέρη που έχουν μια σταθερή σχέση ή λόγο μεταξύ τους.

Αλγεβρική Μέθοδος: Αν έχουμε 28 μαθητές και ο λόγος κοριτσιών προς αγόρια είναι \(4:3\), εκφράζουμε τα μέρη ως συναρτήσεις μιας μεταβλητής (π.χ. \(κ = \frac{4\cdot α}{3}\)) και λύνουμε την εξίσωση του αθροίσματος (\(α + κ = 28 \rightarrow a+\frac{4\cdot α}{3}=28 \rightarrow \frac{3a+4a}{3}=28 \rightarrow 7a=84\rightarrow a=12\) και άρα κ=28-12=16).
Πρακτική/Γραφική Μέθοδος: Στο ίδιο παράδειγμα (\(4:3\)), θεωρούμε ότι σε κάθε 7 μαθητές αντιστοιχούν 4 κορίτσια και 3 αγόρια. Διαιρούμε το σύνολο (28) με το άθροισμα των όρων του λόγου (\(4+3=7\)) για να βρούμε πόσες τέτοιες «ομάδες» υπάρχουν (\(\frac{28}{7}=4\)) και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε (\(4 \cdot 4=16\) κορίτσια και \(4 \cdot 3=12\) αγόρια).

0.15 15. Μέθοδοι Υπολογισμού και Δυσκολίες

Αναγωγή στη Μονάδα: Όταν είναι γνωστή η τιμή του όλου και ζητείται η τιμή ενός μέρους, υπολογίζουμε πρώτα την αξία της μίας μονάδας και μετά πολλαπλασιάζουμε.
Επιμεριστική Ιδιότητα: Γεωμετρικά, ο επιμερισμός ερμηνεύεται μέσω της επιμεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού, όπου το εμβαδόν ενός μεγάλου ορθογωνίου μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα ή διαφορά των εμβαδών μικρότερων ορθογωνίων.
Συνήθεις Παρανοήσεις: Οι μαθητές συχνά δυσκολεύονται να αντιληφθούν ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής εκφράζουν μια σχέση μεταξύ ποσοτήτων και όχι απόλυτους αριθμούς. Για παράδειγμα, μπορεί να θεωρήσουν λανθασμένα ότι στο λόγο \(\frac{1}{3}\) τα κορίτσια είναι αναγκαστικά 1 και το σύνολο 3.

Συμπερασματικά, ο επιμερισμός σε μέρη αποτελεί τη γέφυρα μεταξύ της πρακτικής διανομής αντικειμένων και των προχωρημένων αλγεβρικών σχέσεων αναλογίας.

Τα προβλήματα της καθημερινότητας συνδέονται στενά με τα Μαθηματικά, καθώς πολλές πτυχές της ζωής μας —από τα οικονομικά και τη μαγειρική μέχρι τη γεωγραφία και την τέχνη— απαιτούν την κατανόηση και την επίλυση μαθηματικών σχέσεων. Σύμφωνα με τις πηγές, λέμε ότι έχουμε «πρόβλημα» στη ζωή μας όταν επιδιώκουμε έναν στόχο και υπάρχουν εμπόδια που απαιτούν συγκεκριμένες ενέργειες για να βρεθεί μια λύση.

0.16 16. Οικονομικά Προβλήματα και Συναλλαγές

Μια από τις συχνότερες εφαρμογές των μαθηματικών αναλογιών είναι οι οικονομικές συναλλαγές:

Ποσοστά και Φ.Π.Α.: Η εύρεση της τελικής τιμής ενός προϊόντος (π.χ. ενός πουλόβερ ή μιας τηλεόρασης) μετά την επιβάρυνση του Φ.Π.Α. ή τον υπολογισμό του φόρου που πρέπει να αποδοθεί στην εφορία.
Εκπτώσεις: Ο υπολογισμός του κέρδους από εκπτώσεις σε είδη ρουχισμού ή παπούτσια, καθώς και η αξιολόγηση «άδικων» ή «παράδοξων» προσφορών σε καταστήματα.
Τραπεζικά και Επενδύσεις: Ο υπολογισμός του τόκου και του επιτοκίου σε λογαριασμούς ταμιευτηρίου, η κεφαλαιοποίηση τόκων και οι μεταβολές στις τιμές των μετοχών.
Αγορές με Δόσεις: Ο υπολογισμός της επιβάρυνσης από τόκους όταν αγοράζουμε είδη (π.χ. ένα ψυγείο ή ένα ραδιοκασετόφωνο) με προκαταβολή και μηνιαίες δόσεις.

0.17 17. Πρακτικά Ζητήματα του Σπιτιού και της Εργασίας

Τα Μαθηματικά βοηθούν στη διαχείριση καθημερινών εργασιών:

Μαγειρική και Συνταγές: Η προσαρμογή των υλικών μιας συνταγής (π.χ. για κέικ ή γλυκό βύσσινο) όταν θέλουμε να αλλάξουμε την ποσότητα της δόσης. Επίσης, ο υπολογισμός της απώλειας βάρους στο κρέας μετά το ψήσιμο.
Κατανάλωση Ρεύματος: Ο υπολογισμός του κόστους του ηλεκτρικού ρεύματος βάσει των κιλοβατωρών (\(kWh\)), της σταθερής επιβάρυνσης και του Φ.Π.Α..
Υφάσματα και Κατασκευές: Η σύνθεση των ρούχων (π.χ. % βαμβάκι και πολυεστέρας) και ο υπολογισμός του μήκους ενός υφάσματος που «μπαίνει» στο πλύσιμο.
Μερισμός Κερδών ή Εξόδων: Η δίκαιη κατανομή χρημάτων μεταξύ συνεταιρων ανάλογα με το μερίδιό τους ή η πληρωμή κοινοχρήστων (π.χ. βάψιμο κτιρίου) ανάλογα με τα τετραγωνικά μέτρα κάθε ιδιοκτησίας.

0.18 18. Μετακινήσεις, Γεωγραφία και Χρόνος

Κλίμακες Χαρτών: Η εύρεση της πραγματικής απόστασης μεταξύ πόλεων χρησιμοποιώντας την κλίμακα ενός χάρτη (π.χ. 1:10.000.000) ή ο υπολογισμός των αποστάσεων σε αρχιτεκτονικά σχέδια και κατόψεις δωματίων.
Κίνηση και Ταχύτητα: Η σχέση διαστήματος, χρόνου και ταχύτητας σε ένα ταξίδι με πλοίο, αεροπλάνο ή αυτοκίνητο. Επίσης, η μετατροπή μονάδων μέτρησης, όπως από χιλιόμετρα ανά ώρα (\(km/h\)) σε μίλια ανά ώρα κατά την οδήγηση στο εξωτερικό.
Λήψη Αποφάσεων: Η σύγκριση κόστους για την επιλογή της πιο συμφέρουσας λύσης, όπως για παράδειγμα αν συμφέρει η αγορά κάρτας απεριορίστων διαδρομών στα λεωφορεία ή η εγγραφή σε έναν αθλητικό όμιλο βάσει του αριθμού των παιχνιδιών.

0.19 19. Φύση, Τέχνη και Ανθρώπινη Δραστηριότητα

Ανθρώπινο Σώμα: Η μελέτη της καμπύλης ανάπτυξης των βρεφών, ο υπολογισμός του πυρετού και η διερεύνηση της σχέσης μεταξύ ύψους και βάρους (που δεν είναι πάντα ανάλογα ποσά).
Χρυσή Τομή: Η αναζήτηση της «τέλειας» αναλογίας στη φύση (φυτά, ζώα), στην τέχνη, στην αρχιτεκτονική (μνημεία) και στο ανθρώπινο σώμα.
Γεωμετρία γύρω μας: Η παρατήρηση των γωνιών που σχηματίζονται σε καθημερινά αντικείμενα, όπως στους δείκτες του ρολογιού, στα πόδια των αθλητών, στα φτερά των πουλιών ή στις καμινάδες των σπιτιών.

Συνοψίζοντας, οι πηγές αναδεικνύουν ότι η ικανότητα αρίθμησης και η κατανόηση των αναλογιών είναι κοινά στοιχεία όλων των πολιτισμών και απαραίτητα εργαλεία για την επίλυση των προκλήσεων της καθημερινής ζωής.

Πληροφορίες για τις τέσσερις ενότητες (λόγος, αναλογία, κλίμακα, όμοια σχήματα) βασισμένες στις πηγές, με τη θεωρία τους, λυμένα παραδείγματα και ασκήσεις προς επίλυση.

0.20 20. Λόγος των Αριθμών

Θεωρία: Ως λόγος δύο ομοειδών μεγεθών \(\alpha\) και \(\beta\), που έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης, ορίζεται το πηλίκο των μέτρων τους. Ο λόγος εκφράζει τη σύγκριση δύο ποσοτήτων μέσω της διαίρεσης και μπορεί να γραφεί ως κλάσμα (\(\frac{\alpha}{\beta}\)), με άνω-κάτω τελεία (\(\alpha : \beta\)) ή ως φράση («λόγος του \(\alpha\) προς το \(\beta\)»). Αν τα μεγέθη έχουν διαφορετικές μονάδες μέτρησης, ο λόγος ονομάζεται ρυθμός μεταβολής. Ο λόγος δύο τμημάτων είναι ανεξάρτητος από τη μονάδα μέτρησης, αρκεί να είναι η ίδια και για τα δύο.

Λυμένες Ασκήσεις:

Σε μια τάξη φοιτούν 12 αγόρια και 10 κορίτσια.
Ο λόγος των αγοριών προς τα κορίτσια είναι: \(\frac{12}{10} = \frac{6}{5}\).
Μια ανθοδέσμη έχει 5 λευκά και 15 κόκκινα γαρύφαλλα.
Ο λόγος των κόκκινων προς τα λευκά είναι \(\frac{15}{5} = 3\) (δηλαδή τα κόκκινα είναι τριπλάσια).
Αυτοκίνητο με 50 λίτρα διανύει 800 km.
Ο λόγος (ρυθμός) της απόστασης προς τη βενζίνη είναι \(\frac{800}{50} = 16 \text{ km/λίτρο}\).
Έχουμε το τμήμα ΑΒ = 5 cm και το ΓΔ = 0,8 dm.
Για να βρούμε τον λόγο \(\frac{ΓΔ}{ΑΒ}\), μετατρέπουμε το ΓΔ σε cm: \(0,8 \text{ dm} = 8 \text{ cm}\). Ο λόγος είναι \(\frac{8}{5}\).

Άλυτες Ασκήσεις:

Σε ένα σχολείο φοιτούν 70 κορίτσια και 80 αγόρια. Ποιος είναι ο λόγος των αγοριών προς τα κορίτσια;
Το μήκος του Αχελώου είναι 219 km και του Μόρνου 73 km. Βρείτε τον λόγο του μήκους του Αχελώου προς τον Μόρνο.
Ένα ορθογώνιο έχει πλάτος 2 cm και μήκος 6 cm. Βρείτε τον λόγο του πλάτους προς το μήκος.
Στο ίδιο ορθογώνιο (πλάτος 2 cm, μήκος 6 cm), βρείτε τον λόγο του μήκους προς την περίμετρό του.
Παίκτης Α: 10/15 εύστοχες βολές. Παίκτης Β: 6/8 εύστοχες βολές. Ποιος είναι ο πιο εύστοχος βάσει λόγου;

0.21 21. Αναλογία

Θεωρία: Αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων, δηλαδή η σχέση \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\gamma}{\delta}\). Οι αριθμοί \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) ονομάζονται όροι της αναλογίας, με τους \(\alpha, \delta\) να είναι οι άκροι και τους \(\beta, \gamma\) οι μέσοι όροι. Κάθε αναλογία είναι ισοδύναμη με τη σχέση \(\alpha \cdot \delta = \beta \cdot \gamma\) (το γινόμενο των άκρων ισούται με το γινόμενο των μέσων), γνωστό και ως «χιαστί» γινόμενο.

Λυμένες Ασκήσεις:

Να βρεθεί το \(x\) στην αναλογία \(\frac{x}{3} = \frac{2}{6}\).

Λύση: \(6x = 2 \cdot 3 \Rightarrow 6x = 6 \Rightarrow x = 1\).

Να λυθεί η εξίσωση \(\frac{15}{4} = \frac{105}{\mu}\).

Λύση: \(15\mu = 4 \cdot 105 \Rightarrow 15\mu = 420 \Rightarrow \mu = \frac{420}{15} = 28\).
Βρείτε δύο αριθμούς με λόγο \(7:5\) και διαφορά 40.

Λύση: \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{7}{5}\) και \(\alpha - \beta = 40\). Ισχύει \(\frac{\alpha - \beta}{7 - 5} = \frac{40}{2} = 20\). Άρα \(\frac{\alpha}{7} = 20 \Rightarrow \alpha = 140\) και \(\frac{\beta}{5} = 20 \Rightarrow \beta = 100\).
Σε μια τάξη με 30 μαθητές ο λόγος κοριτσιών προς αγόρια \(7:3\).

Πρακτική λύση: Σε κάθε 10 παιδιά (\(7+3=10\)), τα 7 είναι κορίτσια. \(30 : 10 = 3\) ομάδες. Άρα \(7 \cdot 3 = 21\) κορίτσια και \(3 \cdot 3 = 9\) αγόρια.

Άλυτες Ασκήσεις:

Να λυθεί η εξίσωση: \(\frac{\beta }{16} = \frac{5}{8}\).
Να λυθεί η εξίσωση: \(\frac{3}{4} = \frac{x}{8}\).
Συμπληρώστε την αναλογία \(\frac{4}{7} = \frac{16}{\dots}\).
Τρεις συνιδιοκτήτες πλήρωσαν 2.088 € για βάψιμο ανάλογα με τα \(m^2\) τους: 130, 120 και 110 \(m^2\). Πόσα θα πληρώσει ο καθένας;
Σε μια εταιρεία ο λόγος ανδρών/γυναικών είναι \(5:4\). Αν οι άνδρες είναι 20 περισσότεροι, βρείτε τον αριθμό των γυναικών.

0.22 22. Κλίμακα

Θεωρία: Κλίμακα ονομάζεται ο σταθερός λόγος της απόστασης δύο σημείων μιας εικόνας (ή χάρτη) προς την πραγματική απόσταση των αντίστοιχων σημείων στο έδαφος. Είναι απαραίτητο οι αποστάσεις να μετρούνται με την ίδια μονάδα μέτρησης. Αν η κλίμακα (λόγος) είναι \(> 1\), έχουμε μεγέθυνση, ενώ αν είναι \(< 1\), έχουμε σμίκρυνση.

Λυμένες Ασκήσεις:

Σε χάρτη με κλίμακα \(1:10.000.000\) η απόσταση είναι 2,4 cm. Ποια η πραγματική;
Λύση: \(2,4 \cdot 10.000.000 = 24.000.000 \text{ cm} = 240 \text{ km}\).
Δύο σημεία στον χάρτη απέχουν 10 cm και η πραγματική απόσταση είναι 2 km. Βρείτε την κλίμακα.
Λύση: \(2 \text{ km} = 200.000 \text{ cm}\). Κλίμακα = \(\frac{10}{200.000} = \frac{1}{20.000}\).
Πραγματική απόσταση 15 km σε χάρτη \(1:100.000\). Πόσο είναι στον χάρτη;
Λύση: \(1.500.000 \text{ cm} : 100.000 = 15 \text{ cm}\).
Μοντέλο αεροπλάνου με κλίμακα \(1:6\). Αν το αληθινό φτερό είναι 8 m, πόσο είναι του μοντέλου; Λύση: \(8 : 6 = 1,33 \text{ m}\).

Άλυτες Ασκήσεις:

Χάρτης με κλίμακα \(1:100.000\). Απόσταση στον χάρτη 15 cm. Βρείτε την πραγματική.
Χάρτης \(1:500.000\). Πραγματική απόσταση 200 km. Βρείτε την απόσταση στον χάρτη.
Πραγματική απόσταση 70 km απεικονίζεται σε 10 cm. Ποια η κλίμακα;
Αρχιτεκτονικό σχέδιο \(1:100\) με δωμάτιο 3 cm x 5 cm. Ποιες οι πραγματικές διαστάσεις;
Σχέδιο οικοπέδου με κλίμακα \(1:1.100\). Αν στο σχέδιο μια πλευρά είναι 2 cm, ποια η πραγματική;

0.23 23. Όμοια Σχήματα

Θεωρία: Δύο σχήματα λέγονται όμοια όταν το ένα αποτελεί σμίκρυνση ή μεγέθυνση του άλλου. Στα όμοια σχήματα (πολύγωνα), οι ομόλογες γωνίες είναι ίσες και οι ομόλογες πλευρές είναι ανάλογες. Αν ο λόγος των πλευρών δύο παραλληλογράμμων είναι ίσος, τότε είναι ίσος και ο λόγος των περιμέτρων τους.

Λυμένες Ασκήσεις:

Τρίγωνο με πλευρά 8 cm μεγεθύνεται ώστε η πλευρά να γίνει 12 cm. Ο λόγος μεγέθυνσης είναι \(\frac{12}{8} = 1,5\).
Ο λόγος των πλευρών δύο τετραγώνων είναι \(1:3\). Ο λόγος των περιμέτρων τους είναι επίσης \(1:3\).
Έχουμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ (μήκος 4, πλάτος 2) και το ΕΖΗΘ (μήκος 2, πλάτος 1).
Επειδή ο λόγος των πλευρών είναι \(2\) (\(\frac{4}{2}\) και \(\frac{2}{1}\)). Οι περίμετροι είναι 12 και 6, με λόγο επίσης \(2\). Τα σχήματα είναι όμοια.
Δίνεται ορθογώνιο και ζητείται η σχεδίαση άλλου με λόγο πλευρών \(2:1\).
Λύση: Οι νέες πλευρές θα είναι διπλάσιες των αρχικών.

Άλυτες Ασκήσεις:

Αν δύο παραλληλόγραμμα έχουν ανάλογες πλευρές, δείξτε ότι έχουν και ανάλογες περιμέτρους.
Σχεδιάστε ένα τετράγωνο Α με κλίμακα μεγέθυνσης \(9:1\).
Υπολογίστε τον λόγο των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων αν γνωρίζετε τον λόγο των πλευρών.
Τούρτα Α με πλευρά 20 cm και τούρτα Β με πλευρά 40 cm. Βρείτε τον λόγο των εμβαδών των βάσεών τους.
Σε μιλιμετρέ χαρτί, σχεδιάστε ένα τρίγωνο με κλίμακα \(1:2\) (σμίκρυνση στο μισό).